Giải bài tập sgk Toán nâng cao Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 1


Nội dung bài giảng

Bài tập (trang 61-62-63 sgk Giải Tích 12 nâng cao)

Bài 68 (trang 61 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 68 (trang 61 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Lời giải:

a)     Xét hàm số f(x) = tan x – x

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

do đó hàm số f(x) đồng biến trên (0;π/2)

Nên f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0;π/2)

Vì f(0) = 0, nên khi x > 0 thì f(x) > f(0), tức là tan x – x > 0 hay tan x > x.

b) Xét hàm số

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

=tan2⁡x-x2⁡=(tan⁡x-x)(tan⁡x+x)>0 với mọi x ∈(0;π/2) và do câu a.

Nên f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0;π/2)

Vì f(0) = 0 nên khi x > 0 thì f(x) > f(), tức là tan⁡x-x-x^3/3>0 hay tan⁡x>x+x^3/3 với x ∈(0;π/2)

Bài 69 (trang 61 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Xét chiều biến thiên và tìm cực trị (nếu có) của hàm số sau:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 69 (trang 61 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Lời giải:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

nên hàm số đồng biến trên khoảng (-1/3; +∞). Suy ra hàm số chỉ có cực tiểu tại x=-1/3 và giá trị cực tiểu bẳng y(-1/3)=0.

b) Tập xác định D = [0; 4],

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

=>     Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2), nghịch biến trên khoảng (2; 4). Hàm số chỉ có một giá trị cực đại tại x = 2 và bằng 2.

c)     y=x+√x. TXĐ: D = [0; +∞)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)

Suy ra hàm số có một giá trị cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu bằng y(0) = 0

d)     y=x-√x, TXĐ: D = [0; +∞)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Hàm số đồng biến trên khoảng (1/4; +∞), nghịch biến trên khoảng (0;1/4).

Vậy hàm số có một giá trị cức tiểu tại x=1/4

Và giá trị cực tiểu bằng y(1/4)=-1/4

Bài 70 (trang 61 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Người ta định làm một cái hộp kim loại hình trụ có thể tích V cho trước. tìm bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ sao cho ít tốn kim loại nhất

Lời giải:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Gọi bán kính của hình trụ là a, 0 < x < V

=>     Chiều cao của hình trụ là

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Để làm một cái hộp kim loại hình trụ ít tốn kim loại nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ bé nhất.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bài 71 (trang 62 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Chu vi một tam giác là 16 cm, độ dài một cạnh tam giác là 6 cm. tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là 6, x và 10 – x, với 0 < x < 10

Áp dụng công thức Hê-rông ta có diện tích tam giác là:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Để diện tích tam giác lớn nhất thì hàm số y=-x2+10x-16 đạt giá trị lớn nhất trên (0; 10).

Ta có y'=-2x+10;y'=0 <=> x = 5

Hàm số đồng biến trên (0; 5), nghịch biên trên khoảng (5; 10)

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 5.

Khi đó diện tích của tam giác lớn nhất bằng 6 √2.

Vậy đồ dài cạnh còn lại đều là 5 cm.

Bài 72 (trang 62 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho hàm số

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 72 (trang 62 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a)     Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b)     Chứng minh rằng Phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải:

a)     TXĐ: R

y'=x2-4x=x(x-4);y'=0 <=> x = 0; x = -4

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞,0)và (4; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 4)

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ=y(0)=17/3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, yCT=y(4)=-5

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

y''=2x-4; y''=0 <=> x = 2

Bảng xét dấu

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bảng biến thiên

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Đồ thị

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

b)     Đồ thị hàm số

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. vậy phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Bài 73 (trang 62 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho hàm số f(x) = x3+px+q

a)     Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có cực đại và một cực tiểu.

b)     Chứng minh rằng nếu có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì Phương trình x3+px+q = (1) có 3 nghiệm phân biệt.

c)     Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là 4p3+27q2<0

Lời giải:

a)     f'(x)=3x2+p

Để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu thì phương trình f’(x) = 2 có 2 nghiệm phân biệt và f’(x) đối dấu qua các điểm đó. Vật p < 0

b)     Cách 1.

Dạng đồ thị như hình vẽ.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên phương trình x3+px+q= 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Cách 2.

Hàm số f(x) = x3+px+q liên tục trên R và có

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

fCĐ=f(x1 ),fCT=f(x2 )

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

nên tồn tại số a sao cho f(a) < 0, a
Vì f(a), fCĐ<0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a,x1)

f(x1 );f(x2 )<0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (x1,x2)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

nên tồn tại một số b > x2 sao cho f(b) > 0

Vì f(x2 ),f(b)<0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (x2,b)

Do Phương trình bậc ba có nhiều nhất là 3 nghiệm. vậy Phương trình x3+px+q=0 có 3 nghiệm phân biệt.

Chú ý: khẳng định trên đúng với Phương trình bậc ba tổng quát.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Gọi x1,x2 là hai điểm cực trị của hàm số.

Theo câu b, ta có điều kiện cần và đủ để Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là giá trị cực đại và cực tiểu trái dấu nhau, nghĩa là yCD.yCT<0 <=> f(x1 ).f(x2 )<0

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bài 74 (trang 62 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho hàm số f(x) = x3-3x+1

a)     Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

b)     Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.

c)     Gọi (dm) là đường thẳng đi qua U và có hệ số góc m. tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (dm) cắt đồ thị của hàm số đã cho tại 3 điểm phân biệt.

Lời giải:

a)     TXĐ: D = R

y'=3x2-3;y'=0 <=> 3x2-3=0 <=> 3(x2-1)=0 <=> x = 1; x = -1

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞,-1)và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (1-; 1)

yCĐ=y(-1)=3;yCT=y(1)=-1

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Bảng xét dấu

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bảng biến thiên

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Đồ thị

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

b)     Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U là: y-1=f'(0)(x-0)

<=> y-1=-3 ,=> y=-3x+1

c)     Phương trình đường thẳng (m) đi qua điểm uốn U và có hệ số góc m có dạng y=mx+1

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (dm) và đồ thị là nghiệm của Phương trình x3-3x+1=mx+1<=> x3-(3+m)x=0 <=> x(2-m-3)=0 (*)

Để đường thẳng dm cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt thì Phương trình x3-m-3=0 có 2 nghiệm phân biệt ≠ 0.

<=> m+3>0 ,=> m > -3

Vậy với m > -3 là giá trị cần tìm.

Bài 75 (trang 62 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho hàm số y=x4-(m+1) x2+m

a)     Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số m = 2

b)     Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

Lời giải:

a)     Với m = 2. Hàm số y=x4-3x2+2

TXĐ: D = R

y'=4x3-5x=2x(2x2-3);y'=0 <=> x = 0; x=√6/2;x= -√6/2

Giải Toán 12 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 12 nâng cao
Điểm cực đại x = 0; yCD=y(0)=2

Giới hạn

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Bảng biên thiên

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Đồ thị

Đồ thị cắt trục tung tại (0; 2)

Cắt trục hoành tại 4 điểm (-√2;0);(-1;0);(1;0);(√2,0)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

b)     Đặt t=x2, điều kiện t≥0. Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương trình.

x4-(m+1) x2+m=0     (1)

<=> t2-(m+1)t+m=0     (2)

Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại bốn điểm tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dai bằng nhau, tức 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.

<=> Phương trình (2) có 2 nghiệm dương t1,t2 (với t1 < t2) thõa mãn điều kiện:

√(t2 )-√(t1 )=√(t1 )-(-√(t1 ))<=> √(t2 )=3 √(t1 ) <=> t2=9t1

Phương trình (2) có 2 nghiệm khác nhau là:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Vậy với m = 9 hoặc m=1/9 thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm, tạo thành 3 đoạn thẳng bằng nhau.

Bài 76 (trang 63 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho hàm số f(x)=x4-x2

a)     Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b)     Từ đồ thị hàm số f(x) suy ra đồ thị của hàm số y = |f(x)|

Lời giải:

a)     TXĐ: D = R

y'=4x3-2x=2x(2x2-1)=0 <=> x = 0; x=±√2/2

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Điểm cực đại x = 0; yCĐ=y(0)=0

Giới hạn:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bảng biên thiên

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Đồ thị

Đi qua (0; 0); (-1; 0) và (1; 0)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

do đó đồ thị y = |f(x)| gồm.

-     Phần đồ thị trên Ox của đồ thị (đã vẽ)

-     Phần đối xứng phần đồ thị phía dưới Ox của đồ thị và vẽ qua Ox.

-     Đồ thị (đường nét liền)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bài 77 (trang 63 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho hàm số

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 77 (trang 63 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a)     Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b)     Chứng minnh rằng với mọi m ≠ 1/2, các đường cong (Hm) đều đi qau hai điểm cố định A, B.

c)     Chứng minh rằng tích các hệ số góc của tiếp tuyến với (Hm) tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên.

Lời giải:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Nên hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (1; +∞)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

=> đường thẳng y=1/2 là tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Đồ thị

Cặt trục tung tại (0; 2)

Cặt trục hoành tại (4; 0)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Đk: mx ≠ 1

b)     Gọi A(x, y) là điểm cố định của đồ thị hàm số khi m thay đổi.

Khi đó tọa độ của A thõa mãn Phương trình sau ∀m:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

=> y=±1

+ y = 1 => x = -2

+ y = -1 => x = 2

Vậy ∀m ≠ ±1/2 đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định A(-2; 1), B(2; -1)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Hệ số của tiếp tuyến với (Hm) tại điểm A là y’(2), tại điểm B là y’(2)

Ta có :

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bài 78 (trang 63 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Vẽ đồ thị (T) của hàm số y=x^2-x+1 và đồ thị (H) của hàm số

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 78 (trang 63 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

b)     Tìm giao điểm của hai đường cong (T) và (H). chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm chung của chúng.

c)     Xác định các khoảng trên đó (H) nằm phía trên hoặc dưới (H).

Lời giải:

a)     Đồ thị

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

b)     Dựa vào đồ thị ta có giao điểm của (T) và (H) là A(0; 1)

c)     Dựa vào đồ thị ta thấy trên (-∞; -1) và (0; +∞), (T) nằm trên (H), trên (-1; 0) (T) nằm phía dưới (H).

Bài 79 (trang 63 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho hàm số

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 79 (trang 63 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a)     Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b)     Tiếp tuyến của đường cong (C) tại M(x0,y0) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A, B. chứng minh rằng M là trung điểm trên đường cong (C).

Lời giải:

a)     TXĐ: D = R \ {0}

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1)và (1; +∞), nghịch biến trên (-1; 0) và (0; 1)

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và yCĐ=y(-1)=-2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT=y(1)=2

Giới hạn:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Vậy đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

nên đường thẳng y = x là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Đồ thị

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

b)     Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) thuộc (C) là:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Δ cắt tiệm cận đứng tại A.

=>     Tọa độ A(0;2/x0 )

Δ cắt tiệm cận xiên tại B.

=>     Tọa độ B(2x0,2x0)

+ Tọa độ trung điểm của AB là:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Vậy M là trung điểm của đoạn AB.

+ Khoảng cách từ B đến trục Oy bằng 2x0 là độ dài đường cao kẻ từ B của OAB, OA có độ dài bằng 2/x0 .

Vậy diện tích tam giác OAB là (1/2).2x0.(2/x0) =2 không đổi (không phụ thuộc vào vị trị của M ∈(C).



Loading...