Giải bài tập sgk Toán nâng cao Bài 8: Một số bài toán thường gặp về đồ thị


Nội dung bài giảng

Bài tập (trang 55-56 sgk Giải Tích 12 nâng cao)

Bài 57 (trang 55 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a)     Khảo sát sự biến thiên và đồ thị (C) hàm số: f(x)=2x3+3x2+1

b)     Tìm các giao điểm của đường cong (C) và parapol g(x) = 2x2+1 (P)

c)     Viết Phương trình các tiếp điểm của (C) và (P) tại các điểm của chúng.

d)     Xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên và hoặc phía dưới (P).

Lời giải:

a)     Hàm số: f(x) = y=2x3+3x2+1. TXĐ: D = R

Sự biến thiên: y’ = 6x2+6x

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Sự biến thiên, nghịch biến.

Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; -1)và (0;+∞)

Hàm số nghịch biến trong khoảng (-1; 0)

Cực trị: yCĐ=2 khi x = -1

yCT=1 khi x = 1v

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Điểm uốn, tính lồi lõm:

Ta có y’’ = 12x + 6

y''=0 <=> 12x+6=0 <=> x=-1/2 => y=3/2

Bảng xét dấu

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bảng biến thiên

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Đồ thị hàm số : f(x) = y = 2x3+3x2+1

Giao điểm Oy: (0; 1)

Đi qua (-1; 2)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

b)     Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và parabol (P) là nghiệm của phương trình:

f(x)=g(x) <=> 2x3+3x2+1=2x2+1

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Vậy đường cong C và parabol (P) cắt tại 2 điểm: A(0; 1); B(-1/2;3/2)

c)     Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm A của đường cong (C ) và parabol (P) là: y’(0) = 0

Vậy Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm A của đường cong (C) và parabol (P) y0(x-0)+1,hay y=1

Hệ số số góc tiếp tuyến tại giao điểm A của đường cong (C) và parabol (P) là:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Vậy Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm B của đường cong (C) và parabol (P) là:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

d)     Để (C) nằm phía trên (P) thì 2 hàm số f(x) và g(x) phải thõa mãn điều kiện sau:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Vậy với x ∈(-∞; -1/2) và (0; +∞) thì (C) nằm phía trên (P). Để (C) nằm phía dưới (P) thì 2 hàm số f(x) và g(x) thỏa mãn điều kiện sau:

f(x)< g(x) <=> 2x3+3x2+1 < 2x2+1 <=> 2x3+x2 < 0 <=> -1/2 < x < 0

Vậy với x ∈(-1/2;0) thì (C) nằm phía dưới (P).

Bài 58 (trang 56 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a)     Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 58 (trang 56 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

b)     Với các giá trị nào của m thì (dm) đi qua điểm A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho.

-     Tại 2 điểm phận biệt?

-     Tại 2 điểm thuộc 2 nhánh 2 của đồ thị?

Lời giải:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

-     Hàm số luôn đồng đồng biến trong khoảng (-∞; -1)và (-1;+∞)

-     Hàm số không có cực trị.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng: x = -1.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng: y = 2.

Bảng biến thiên

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Đồ thị hàm số

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

nhận điểm I là giao điểm của 2 tiệm cận làm tâm đối xứng I(-1; 2). Đồ thị đi qua A(0; -1), B(1/2;0),C(1;1/2);D(2;1)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

b)     Đường thẳng (dm) qua điểm A(-2; 2) có hệ số góc m là:

y=m(x+2)+2

<=> y=mx+2m+2

Để (dm) cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình sau phải có 2 nghiệm phân biệt ≠ -1

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

<=> f(x)=mx2+3mx+2m+3=0     (1)

Và f(-1) ≠ 0

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì: Δ>0,f(-1) ≠ 0

Ta có: Δ=(3m)2-4(2m+3)m>0

= m2-12m>0

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Vậy với m ∈(-∞;0) và (12,+∞) thì đường thẳng (dm) sẽ cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt.

-     Để (dm) cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị thì:

x1<-1
<=> m(m(-1)2+3m(-1)+2m+3)<0 <=> 3m<0 <=> m < 0

Vậy với m ∈(-∞;0) thì đường thẳng (dm) sẽ cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt ∈ 2 nhánh đồ thị.

Bài 59 (trang 56 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Chứng minh rằng các đồ thị của 3 hàm số: f(x) = -x2+3x+6;g(x)=x3-x2+4 và h(x) = x2+7x+8 tiếp xúc với nhau tại điểm A(-1; 2)

Lời giải:

Nếu 3 hàm số trên tiếp xúc với nhau tại A(-1; 2) thì tại đó 3 hàm số có tiếp tuyến chung hay hệ số góc của các tiếp tuyến bằng nhau. Ta có:

+ f’(x) = -2x+3=>f' (-1)=5

+ g’(x) = 3x2-2x=>g' (-1)=5

+ h’(x) = 2x+7=>h' (-1)=5

Vậy 3 hàm số trên tiếp xúc với nhau nhau tại A(-1; 2)

Bài 60 (trang 56 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 60 (trang 56 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp tuyến của 2 đường cong trên và viết Phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó.

Lời giải:

Hai hàm số f(x) và g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Vậy tiếp tuyến của 2 đường cong trên là M(0; 0)

Phương trình tiếp tuyến chung của f(x) và g(x) có hệ số góc k là: k = f’(0) = 3/2

Vậy Phương trình tiếp tuyến chung của f(x) và g(x) là: y=3x/2

Bài 61 (trang 56 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu v_0>0 từ một nòng sung đặt ở gốc tọa độ O, nghiêng một góc α với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng đứng thẳng Oxy và tạo với trục hoành Ox một góc α. Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 61 (trang 56 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

g là gia tốc trọng trường.

chứng minh rằng với mọi α ∈(0;π/2) γ α luôn tiếp xúc với parabol (C) có phương trình là

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

và tìm tọa độ điểm (C) được gọi là parabol an toàn.

Lời giải:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Tọa độ điểm M của M của (γ α) và (C) là nghiệm của phương trình sau:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null



Loading...