Giải bài tập sgk Toán nâng cao Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức


Nội dung bài giảng

Bài tập (trang 43-44 sgk Giải Tích 12 nâng cao)

Bài 40 (trang 43 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

a)     Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x3+3x2-4

b)     Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c)     Chứng minh rằng điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị.

Lời giải:

a)     TXĐ: R

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

y'>0 trên khoảng (-∞; -2)và (0; +∞)

y'<0 trên khoảng (-2; 0)

yCĐ=y(-2)=0; yCT=y(0)=-4

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

y''=6x+6=6(x+1)=0 <=> x = -1

Bảng xét dấu y’’

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; -1)

Hàm số lõm trên khoảng -1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn u(-1; -2)

Bảng biến thiên:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Đồ thị

Đi qua điểm (1; 0) và (-3; -4)

b)     Hàm số y=x3+3x2-4 có điểm uốn u(-1; -2)

Ta có: y'=3x2-4 ; y’(-1) = -3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn u(-1; -2) có dạng

y-y0=y'(x0)(x-x0)

<=> y+2=-3(x+1)

<=> y=-3x-5

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: y = -3x - 5.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

c)     Đồ thị nhận I(-1; -2) là tâm đối xứng khi và chỉ khi:

f(x0+x)+f(x0-x)=2y0 với ∀x

<=> f(x-1)+f(-x-1)=-4 ∀x

<=> (x-1)3+3(x-1)2-4+(-1-x)3+3(-1-x)2-4 ∀x

<=> x3-3x2+3x-1+3x2-6x+3-5-3x-3x2-x3+3+6x+3x2-4=-4 ∀x

<=>-4=4 ∀x

=>     I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị.

Bài 41 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

a)     Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=-x3+3x2-1

b)     Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x3+3x2-1=m

Lời giải:

a)     y=-x3+3x2-1. Tập xác định D = R

y'=-3x^2+6x

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

-     Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

-     Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0)và (2; +∞)

y_CĐ=y(2)=3; y_CT=y(0)=-1

y''=-6x+6;y''=0 => x = 1

-     Hàm số lồi trên khoảng (-∞;1) lõm trên khoảng (1;+∞)

-     Hàm số có một điểm uốn I(1; 1)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bảng biến thiên:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Đồ thị đi qua (0; -1)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

b)     -x3+3x2-1=m     (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị y=-x3+3x2-1 với đường thẳng y = m.

Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:

-     Nếu m > 3: Phương trình (*) có 1 nghiệm

-     Nếu m = 3: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

-     Nếu -1 < m < 3 : Phương trình (*) có 3 nghiệm

-     Nếu m = -1: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

-     Nếu m < -1 phương trình (*) có 1 nghiệm.

Kết luận:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bài 42 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 42 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

Lời giải:

a)     * TXĐ: R

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

y'> 0 trên khoảng (-∞; -1)và(3; +∞)

y'< 0 trên khoảng (-1; 3)

yCT=y(3)=-32/3;yCĐ=y(-1)=0

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

y''=2x-2=2(x-1)=0 <=> x = 1

Bảng xét dấu y’’

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; -1).

Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn u(1; -16/3)

Bảng biến thiên

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

-     Đồ thị

Đi qua (0; -5/3);(5;0)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

b)     TXĐ: R

y'=3x^2-3=0 <=> x=±1

y'> 0 trên khoảng (-∞; -1)và (1; +∞)

y'< 0 trên khoảng (-1; 1)

yCĐ=y(-1)=3;yCT=y(1)=-1

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bảng xét dấu y’’

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Hàm số có 1 điểm uốn u(0; 1)

•     Bảng biến thiên

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

•     Đồ thị

Đi qua (0; 1)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

+ Tập xác định D = R.

y'=-x2+2x-2=-[(x-1)2+1]<0 ∀x ∈D

-     Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)

-     Hàm số không có cực trị

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

-     Đồ thị không có tiệm cận.

y''=-2x+2;y''=0 => x = 1

-     Hàm số lồi trên (1; +∞)lõm trên (-∞;1) nhận I(1; -2) làm điểm uốn.

Bảng biến thiên.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

d)     y=x3-3x2+3x+1

Tập xác định D = R

y'=3x2-6x+3=3(x-1)2>0 ∀x ∈D

-     Hàm số luôn đồng biến (-∞; +∞)

-     Hàm số không có cực trị

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

-     Đồ thị không có tiệm cận

y''=6x-6;y''=0 => x = 1

-     Đồ thị lồi trên (-∞;1)

-     Đồ thị lõm trên (1; +∞)

Đồ thị nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng.

Bảng biến thiên

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bài 43 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

a)     Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: y=-x4+2x2-2

b)     Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x4+2x2-2=m

c)     Viết Phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị.

Lời giải:

a)     TXĐ: R

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 43 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

*     y'=-4x3+4x=4x(-x2+1)=0

y'>0 trên khoảng (-∞; -1)và (0;1)

y'<0 trên khoảng (-1;0) và (1; +∞)

yCT=y(0)=-2;yCĐ=y(-1)=-1

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

- y''=-12x2+4=4(-3x2+1)=0

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bảng xét dấu y’’

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bảng biến thiên.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

•     Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; -2)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

b)     Số nghiệm của Phương trình -x4+2x2-2=m (1) là giao điểm của đồ thị y=-x4+2x2-2 với đường thẳng y = m.

Nếu m > -1 thì Phương trình (1) vô nghiệm.

Nếu m = 1 thì Phương trình (1) có 2 nghiệm.

Nếu -2 < m < -1: Phương trình có 4 nghiệm.

Nếu m = -2 phương trình (1) có 3 nghiệm

Nếu m < -2: Phương trình (1) có 2 nghiệm

Kết luận:

m > -1: Phương trình (1) vô nghiệm.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Phương trình (1) có 2 nghiệm.

m=−2: Phương trình (1) có 3 nghiệm.

-2 < m < -1 phương trình (1) có 4 nghiệm.

c)     Hàm số y=-x4+2x2-2 có 2 điểm uốn đó là:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Phương trình tiếp tuyến uốn

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiếp tuyến:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bài 44 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau:

a)     y=x4-3x2+2      b) y=-x4-2x2+1

Lời giải:

a)     TXĐ: R

y'=4x3-6x=2x(2x2-3)=0

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

•Bảng xét dấu y’’

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

•     Bảng thiên thiên

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

•     Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

Giao với Oy (0; 2)

Giao với Ox (-1; 0); (1; 0)

(-√2;0);(√2;0)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

b)     y=-x4-2x2+1

TXĐ: R

y'=-4x5-4x=4x(x2-1)=0 <=> x=0

y'> 0 trên khoảng (-∞;0),y'< 0 trên khoảng (0; +∞)

yCĐ=y(0)=1

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

y''=-12x2-4<0 ∀x ∈R

Bảng xét dấu y’’

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; +∞)

Bảng biến thiên

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; 1)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null



Loading...