Giải bài tập sgk Toán nâng cao Bài 1: Số phức


Nội dung bài giảng

Bài tập (trang 189-190 sgk Giải Tích 12 nâng cao)

Bài 1 (trang 189 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho số phức 2+3i;1+2i;2-i

a)     Biểu diễn các số trong mặt phẳng số phức.

b)     Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.

c)     Viết đối số của mỗi số phức và biểu diến chúng trong mặt phẳng phức.

Lời giải:

a)     Các điểm A, B, C trong mặt phẳng tọa độ (hình vẽ) là biểu diến các số phức: 1 + 2i; 2 + 3i; 2 – i.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

b)     Số phức liên hợp của số z=2+3i là z− =2-3i

z'=1+2i là z'−=1-2i

z''=2-i là z−''=2+i

Các điểm M, N P biểu diễn cho các số z−, z−',z−'' như sau: (hình vẽ)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

c)     Số đối của số phức: z=2+3i là-z=-2-3i

z'=1+2i là-z=-1-2i

z''=2-i là-z=-2+i

Các điểm P, Q, R lần lượt biển diễn cho các số -z, -z’, -z’’.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bài 2 (trang 189 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Xác định phần thực và phần ảo các số sau:

a)     i+(2-4i)-(3-2i)      b) (√2+3i)2

c) (2+3i)(2-3i)      d) i(2-i)(3+i)

Lời giải:

a)     Ta có i+(2-4i)-(3-2i)=-i-1 có phần thức là -1 và phần ảo là -1

b)     Ta có (√2+3i)2=2+6 √2 i+(3i)2=2+6 √2 i-9=-7+6 √2 i có phần thức là -7 và phần ảo là 6 √2

c)     Ta có (2+3i)(2-3i)=4-6i+6i-9i2=4+9=13 có phần thức là 13 và phẩn ảo là 0.

d)     i(2-i)(3+i)=i(6-i+1)=1+7i có phần thức là 1 và phần ảo là 7.

Bài 3 (trang 189 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc O trong mặt phẳng phức biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.

Lời giải:

Gọi lục giác đều là ABCDEF, trong đó A là biểu diễn cho số i.

Suy ra A(0; 1) và góc AOB=60o (hình vẽ)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Vậy sáu số phức cần tìm là:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bài 4 (trang 189 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Thực hiện phép tính:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 4 (trang 189 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Lời giải:

Nhân cả tử và mẫu của số đã cho với lượng liên hợp ở mẫu ta được.

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Bài 5 (trang 190 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 5 (trang 190 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Lời giải:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Bài 6 (trang 190 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Chứng minh:

a)     Phần thực của số phức z bằng 1/2(z+z− ), phần ảo của số phức z bằng 1/2i(z-z−)

b)     Số phức z là phần ảo khi và chỉ khi z=-z−

c)     Với mọi số phức z, z’ ta có

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 6 (trang 190 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Lời giải:

a)     Giả sử z=a+bi ta có z−=a-bi, nên

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

b)     Giả sử z=a+bi

Theo bài ra z=-z− <=> a+bi=-(a-bi) <=> a=-a <=> a = 0

Vậy z = bi là một số ảo.

c)     Giả sử z=a+bi,z'=a'+b'i. Ta có:

z+z'=(a+a' )+(b+b' )i => (z + z')−=(a+a' )-(b-b' )i=(a-bi)+(a'-b' i)=z−+z−' (đpcm)

z.z’=(a+bi)(a'+b' i)=(aa'-bb' )+(ab'+a' b)i

=> zz'−=(aa'-bb' )+(ab'+a' b)i     (1)

Và z−.z−'=(a-bi)(a'-b' i)=(aa'-bb' )-(ab'+a' b)i     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: zz'−=z−.z−'     (đpcm)

Bài 7 (trang 190 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có:

i4m=1;i4m+1;i4m+2=-1;i4m+3=-i

Lời giải:

Ta có: i4m=1=(i2 )2m=(-1)2m=1,với ∀m ∈N*

i4m+1=i4m.i=1.i=i

i4m+2=i4m.i2=1.(-1)=-1

i4m+3=i4m.i3=1.i3=i3=i2.i=-1.i=-i (đpcm)

Bài 8 (trang 190 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Chứng minh rằng:

a)     Nếu vectơ u→ của một mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ u→ là |u→ |=|z|, từ đó nếu các điểm A1;A2 theo thức tự biểu diễn các số phức z1;z2 thì |A1A2→ |=|z2-z1 |

b)     Với mọi số phức z, z’ ta có |zz' |=|z||z' | và khi z ≠ 0 thì

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 8 (trang 190 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

c)     Với mọi số phức z, z’ ta có |z+z' |≤|z|+|z' |

Lời giải:

a) Nếu u→ là vectơ biểu diễn số phức z = a + bi thì u→=(a;b)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Gọi A1 là điểm biểu diễn số phức Z1=a1+b1 i=>A1 (a1;b1)

A2 là điểm biểu diễn số phức Z2=a2+b2 i=>A2 (a2;b2)

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

b)     Ta có: z.z’=(a+bi)(a'+b' i)=(aa'-bb' )+(ab'+a' b)i

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Vậy |zz' |=|z||z' |

Khi z ≠ 0 ta có:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

c)     Với mọi số phức z, z’, ta có: z + z’ = (a +a’) + (b +b’)i

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Theo yêu cầu bài toán ta cần chứng minh:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Theo Bu-nhi-cốp-xki ta có bất đẳng thức (*) đúng với ∀a,b,a',b'∈R nên |z+z' | ≤ ||z|+|z' |     (đpcm)

Bài 9 (trang 190 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Bài 9 (trang 190 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Lời giải:

a) Giả sử z=a+bi => z – I = a+(b-1)i

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-Lời giải:

Vậy quỹ tích điểm M(a; b) biểu diễn số phức z=a+bi thõa mãn |z – i| =1 là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 1.

b) Giả sử z=a+bi

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Theo bài 8b ta có:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Theo bài ra ta có:

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

<=> a2+(b-1)2=a2+(b+1)2

<=> b = 0. Vậy z = a, hay tập hợp các điểm cần tìm là trục thực

Giả sử z=a+bi => z−=a-bi z−-3+4i=a-bi-3+4i=(a-3)+(4-b)i

Theo bài ra, ta có |z|=|z−-3+4i|<=> |z|=|(a-3)+(4-b)i|

Giải bài tập sgk Toán nâng cao-null

Vật quỹ tích điểm các điểm cần tìm trêm đường thẳng có phương trình 6a+8b=25 trong mặt phẳng phức (Oxy)



Loading...