Cho a ≠ 0. Xét các khẳng định sau:(a) Nếu a > 0 thì a + $\frac{1}{\mathrm{a}}$ ≥ 2; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 1.(b) Với mọi a ta đều có a + $\frac{1}{\mathrm{a}}$ ≥ 2; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 1.(c) Nếu a < 0 thì a + $\frac{1}{\mathrm{a}}$ ≤ -2; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = -1.(d) Với mọi a ta đều có  ≥ 2; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 1 hoặc a = -1.Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

Đáp án:C
Lời giải:

Ta lần lượt kiểm tra từng trường hợp bằng cách biến đổi về một bất đẳng thức đã biết.
- Xét khẳng định (a): Nếu a > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho a và $\frac{1}{\mathrm{a}}$ ta có a + $\frac{1}{\mathrm{a}}$ ≥ 2a.$\frac{1}{\mathrm{a}}$ = 2
Dấu bằng khi và chỉ khi a = $\frac{1}{\mathrm{a}}$ hay a = 1. Vậy (a) đúng.
- Xét khẳng định (b): Với a < 0, chẳng hạn a = -1 , a + $\frac{1}{\mathrm{a}}$ = -2 < 2. Vậy (b) sai.
- Xét khẳng định (c): Nếu a < 0, thì -a > 0, -a + $\frac{1}{-\mathrm{a}}$ ≥ 2 (theo bất đẳng thức Cô-si), hay tương đương a + $\frac{1}{\mathrm{a}}$ < -2 . Có đẳng thức khi và chỉ khi -a = $\frac{1}{-\mathrm{a}}$ ⇔ a = -1. Vậy (c) đúng.
- Xét khẳng định (d): Vì a và $\frac{1}{\mathrm{a}}$ cùng dấu nên (d) gồm hai trường hợp (a) và (c). Vậy (d) đúng.